理论研究指出，简谐振动的振动位移X与时间t的关系图象（x-t）可以是一条余弦曲线，其函数表达式为：x=Acosωt，其中A是振幅，ω=2π/T．对于周期性变化的电压和电流的图象也可以是一

Question

理论研究指出，简谐振动的振动位移X与时间t的关系图象（x-t）可以是一条余弦曲线，其函数表达式为：x=Acosωt，其中A是振幅，ω=2π/T．对于周期性变化的电压和电流的图象也可以是一条余弦曲线，其函数表达式类似．下图中从阴极K发射的电子经电势差U ₀ =5000V的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中央射入两块长L ₁ =10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板边缘L ₂ =75cm处放置一个直径D=20cm、带有记录纸的圆筒．整个装置放在真空内，电子发射的初速度不计（见图）．若在两金属板上交变电压以U ₂ =1000cos2πt（V）的规律变化，并使圆筒绕中心轴按图示方向以n=2转/s匀速转动，电子质量为9.1×10 ^-31 kg，电子电量为1.6×10 ^-19 c求：
（1）电子加速后的入射速度？
（2）在纸筒上的落点对入射方向的总偏距？
（3）确定电子在记录纸上的轨迹形状并画出1s内所记录到的图形．

Answer 1

（1）电子在加速电场中，由动能定理得：
   eU ₀ = (1)/(2) m

v

20

得电子加速后的入射速度 v ₀ =

(2e U0)/(m)

=4.2×10 ⁷ m/s
（2）加上交变电压时，A、B两板间运动时：
 电子飞离金属板时的竖直偏转距离   y 1 =(1)/(2) a

t

21

= (1)/(2) • (e E2)/(m) ((L1)/(v0) ) 2
 电子飞离金属板时的竖直速度  v _y =at ₁ = (e E2)/(m) •(L)/(v0)
电子从飞离金属板到达圆筒时的偏距
   y ₂ =v _y t ₂ = (e E2)/(m) •(L)/(v0) •(L2)/(v0) = (e E2 L1 L2)/(mv20)
所以在纸筒上的落点对入射方向的总偏距为
  y=y ₁ +y ₂ =（ (L1)/(2) + L 2 ） (e E2 L1)/(mv20) +L ₂ =（ (L1)/(2) + L 2 ） (L1 U2)/(2d U0)
代入解得，y=0.20cos2πt（cm）
（3）在记录纸上的点以振幅0.20m，周期T= (2π)/(ω) =1s而做简谐运动，因为圆筒每秒转2周，故在1 s内纸上的图形如图所示．
答：
（1）电子加速后的入射速度是4.2×10 ⁷ m/s．
（2）在纸筒上的落点对入射方向的总偏距是0.20cos2πt（cm）
（3）确定电子在记录纸上的轨迹形状并画出1s内所记录到的图形如图所示．