函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的一段图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）要得到函数y=f（x）的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到？（Ⅲ）若不等式

Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜(π)/(2)）的一段图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）要得到函数y=f（x）的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到？
（Ⅲ）若不等式f（x）-m≤2在x∈[0，2π]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由图象知，A=3，(T)/(2)＝(13π)/(3)−(7π)/(3)＝2π⇒T＝4π，ω＝(2π)/(T)＝(1)/(2)，
将图象上的点((7π)/(3)，0)代入y=f（x）中，
得φ＝2kπ−(π)/(6)，k∈Z，又|φ|＜(π)/(2)，
∴φ＝−(π)/(6)，
故f(x)＝3sin((1)/(2)x−(π)/(6))．
（Ⅱ）y=sinx的图象向右平移个单位纵坐标不变，得到y=sin（x-(π)/(6)）的图象，
横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin（(1)/(2)x-(π)/(6)），再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到f(x)＝3sin((1)/(2)x−(π)/(6))；
（Ⅲ）∵x∈[0，2π]，
∴(1)/(2)x−(π)/(6)∈[−(π)/(6)，(5π)/(6)]，
则sin((1)/(2)x−(π)/(6))∈[−(1)/(2)，1]，
从而f(x)＝3sin((1)/(2)x−(π)/(6))∈[−(3)/(2)，3]
不等式f（x）-m≤2在x∈[0，2π]上恒成立等价于：m≥f（x）-2在x∈[0，2π]上恒成立，
而f(x)−2∈[−(7)/(2)，1]，
∴m≥1．