什么是周期函数请问下高手怎样证明函数为周期函数谢谢.如：y=cos(x-2),y=xcosx怎样证明

Question

什么是周期函数
请问下高手怎样证明函数为周期函数谢谢.如：y=cos(x-2),y=xcosx怎样证明

Answer 1

对于函数y=f（x）,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f（x+T）=f（x）都成立,那么就把函数y=f（x）叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.
你给出的函数中,前面一个为同期函数,后一个不是
证明:
1.显然有 f(x)=f(x+2π）
下面证第二个不是
假设此函数为一个周期函数
T(T≠0)为其周期之一
则必有f(x+T)=f(x)恒成立
令F(x)=f(x+T)-f(x)
F(x)=0对于任意x恒成立
由于
F(x)
=xcos(x+T)+Tcos(x+T)-xcosx
=Tcos(x+T)-2xsin(x+T/2)sin(T/2)
令x=0
得到F(0)=TcosT=0
由于T≠0,于是cosT=0
即T=2kπ+π/2(k为一整数)
于是
F(x)
=Tcos(x+T)-2xsin(x+T/2)sin(T/2)
=Tcos(x+2kπ+π/2)-2xsin(x+kπ+π/4)sin(kπ+π/4)
=-Tsinx-2x*(-1)^k*sin(x+π/4)*(-1)^k*sin(π/4)
=-Tsinx-√2xsin(x+π/4)
于是
F(π)=π≠0
产生矛盾,即f(x)=xcosx不是一个周期函数