（2014•杭州一模）设a∈R，f(x)＝x|x−a|（1）若函数f（x）在[0，+∞）为单调函数，求实数a的取值范围；（2）设a＞0，（i）证明：函数F(x)＝f(x)−12x有3个零点；（ii）若存在实数t（t＞a），当

Question

（2014•杭州一模）设a∈R，f(x)＝√(x)|x−a|
（1）若函数f（x）在[0，+∞）为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）设a＞0，
（i）证明：函数F(x)＝f(x)−(1)/(2)x有3个零点；
（ii）若存在实数t（t＞a），当x∈[0，t]时函数f（x）的值域为[0，(t)/(2)]，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）显然x≥0，
当a≤0时，f（x）=√(x)|x-a|=√(x)（x-a），
f'（x）=(3)/(2)x(1)/(2)−(1)/(2)ax−(1)/(2)≥0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，符合题意．
当a＞0时，f（x）=

√(x)(a−x)，(0≤x≤a)

√(x)(x−a)，(x＞a)

，
此时x=a为函数f（x）的极值点，显然不单调．
综上，实数a的取值范围是a≤0；
（2）若a＞0，
（i）即证明方程√(x)|x-a|=(1)/(2)x有三个不同的实根，
可化为x=0或|x-a|=(1)/(2)

作业帮用户 2017-10-05

问题解析

（1）对a讨论，分a≤0，a＞0两种，将绝对值去掉，求导数，从而判断单调性；
（2）令F（x）=0则x=0或|x-a|=(1)/(2)√(x)，对后一个两边平方，转化为二次方程，判断它有两个不同的正根即可；
（3）考虑函数y₁=√(x)（a-x）（0≤x≤a）的极大值点(a)/(3)，从而当x∈[0，t]时，f（x）_max=max{f（(a)/(3)），f（t）}，分别讨论f（x）_max=f（t）和f（x）_max=f（(a)/(3)），得到不等式组，解出t的范围，从而得出a的取值范围．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：

本题主要考查导数在函数中的综合应用：求单调性、求极值、求最值，考查分类讨论的思想方法，含参问题的求法，考查运算和推理能力，是一道很好的综合题．

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