若有穷数列a1，a2，a3，…，an（n是正整数），满足a1=an，a2=an-1，…，an=a1即ai=an-i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．例如：数列1，2，3，3，2，1和数列1，2，3，4，3，2

Question

若有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_n（n是正整数），满足a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁即a_i=a_n-i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．例如：数列1，2，3，3，2，1和数列1，2，3，4，3，2，1都为“对称数列”．已知数列{b_n}是项数不超过2m（m＞1，m∈N*）的对称数列，使得1，2，2²…2^m-1成为数列中连续的前m项，则数列{b_n}的前2013项和S₂₀₁₃所有可能的取值的序号为（　　）
①2²⁰¹³-1
②2（2²⁰¹³-1）
③2^m+1-2^2m-2013-1
④3•2^m-1-2^2m-2014-1．

A．①③
B．②④
C．①③④
D．②③④

Answer 1

因为数列b_n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，
所以分数列的项数是偶数和奇数讨论．
若数列含偶数项，则数列可设为1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
当m-1≥2012时，S₂₀₁₃=(1×(1−22013))/(1−2)=2²⁰¹³-1，所以①正确；
当1006≤m-1＜2012时，S₂₀₁₃=2(1×(1−2m))/(1−2)-(1×(1−22m−2013))/(1−2)=2^m+1-2^2m-2013-1，所以③正确；
若数列含奇数项，则数列可设为可设为1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
当m-1≥2012时，S₂₀₁₃=2²⁰¹³-1≠2（2²⁰¹³-1），故②错误；
当1006≤m-1＜2012时，所以S₂₀₁₃=2(1×(1−2m−1))/(1−2)-(1×(1−22m−1−2013))/(1−2)+2^m-1=3•2^m-1-2^2m-2014-1，所以④正确．
故选C．