如果有穷数列（为正整数）满足．即，我们称其为“对称数列“例如，数列，，，，与数列，，，，，都是“对称数列”．设是项数为的“对称数列”，并使得

Question

如果有穷数列 （ 为正整数）满足 ．即 ，我们称其为“对称数列“例如，数列 ， ， ， ， 与数列 ， ， ， ， ， 都是“对称数列”．设 是项数为 的“对称数列”，并使得 ， ， ， ，…， 依次为该数列中连续的前 项，则数列 的前 项和 可以是
⑴     ⑵        （3）
其中正确命题的个数为（    ）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

C

专题：新定义．
分析：由题意由于新定义了对称数列，且已知数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N ^* ）的“对称数列”，并使得1，2，2 ² ，…，2 ^m-1 依次为该数列中前连续的m项，故数列b _n 的前2010项利用等比数列的前n项和定义直接可求（1）（2）的正确与否；对于（3），先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和在利用减法的到需要的前201008项的和，即可判断．
因为数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N ^{* ）} 的“对称数列”，并使得1，2，2 ² ，…，2 ^m-1 依次为该数列中前连续的m项，故数列b _n 的前2010项可以是：①1，2，2 ² ，2 ³ …，2 ¹⁰⁰⁵ ，2 ¹⁰⁰⁵ ，…，2 ² ，1．
所以前2010项和S ₂₀₁₀ =2× =2（2 ¹⁰⁰⁵ -1），所以（1）错（2）对；
对于 （3）1，2，2 ² ，…2 ^m-2 ，2 ^m-1 ，2 ^m-2 ，…，2，1，1，2，…2 ^m-2 ，2 ^m-1 ，2 ^m-2 ，…，2，1…m-1=2n+1，利用等比数列的求和公式可得：S ₂₀₁₀ =2 ^m+1 -2 ^2m-2010 -1，故（3）正确．
故为C