设a＞0，函数f（x）＝-ax在[1，＋∞）上是单调函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设≥1，f（x）≥1，且f（f（））＝，求证：f（）＝．

Question

设a＞0，函数f（x）＝ -ax在[1，＋∞）上是单调函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设 ≥1，f（x）≥1，且f（f（ ））＝ ，求证：f（ ）＝ ．

Answer 1

（1）a的取值范围是（0，3 ．
　　（2）证明见解析

（1）任取 、 [1，＋∞]且 ＜ ，则
　　 ．
　　∵　 ，∴　 ．
　　显然，不存在一个常数a，使得 恒为负数．
　　∵　f（x）有确定的单调性，　∴　必存在一个常数a，使 恒为正数，即 ．
　　∴　a≤3，这时有f（ ）＞f（ ）．　∴　f（x）在[1，＋∞ 上是增函数，故a的取值范围是（0，3 ．
　　（2）设f（ ）＝u，则f（u）＝ ，于是
　　则 ，　即　 ．
　　∵　 ， ，　 ，
又∵　 ，∴　 ．　∴　 ，即 ，故 ．