已知函数f（x）=aex-x-1，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若曲线f（x）恒在直线y=x+1的上方，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=ae^x-x-1，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线f（x）恒在直线y=x+1的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=ae^x-1，
①a≤0时，ae^x-1<0恒成立，
故f（x）在R递增；
②a>0时，令f′（x）>0，解得：x>ln(1)/(a)，
令f′（x）<0，解得：x<ln(1)/(a)，
∴f（x）在（-∞，ln(1)/(a)）递减，在（ln(1)/(a)，+∞）递增；
（2）由题意得：ae^x-x-1>x+1对∀x∈R恒成立，
即a>(2(x+1))/(ex)对∀x∈R恒成立，
令g（x）=(2(x+1))/(ex)，则g′（x）=(-2x)/(ex)，
令g′（x）>0，解得：x<0，令g′（x）<0，解得：x>0，
∴g（x）在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减，
∴g（x）_max=g（0）=2，
故a>2．