设f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x，a∈R．（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围．

Question

设f（x）=xln x-ax²+（2a-1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f′（x）=ln x-2ax+2a，
可得g（x）=ln x-2ax+2a，x∈（0，+∞），
所以g′（x）=(1)/(x)-2a=(1-2ax)/(x)，
当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）>0，函数g（x）单调递增；
当a>0，x∈（0，(1)/(2a)）时，g′（x）>0，函数g（x）单调递增，
x∈（(1)/(2a)，+∞）时，g′（x）<0，函数g（x）单调递减．
所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a>0时，g（x）的单调增区间为（0，(1)/(2a)），单调减区间为（(1)/(2a)，+∞）．…（6分）
（2）由（1）知，f′（1）=0．
①当0<a<(1)/(2)时，(1)/(2a)>1，由（1）知f′（x）在（0，(1)/(2a)）内单调递增，
可得当x∈（0，1）时，f′（x）<0，当x∈（1，(1)/(2a)）时，f′（x）>0．
所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，(1)/(2a)）内单调递增，
所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．
②当a=(1)/(2)时，(1)/(2a)=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，
所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．
③当a>(1)/(2)时，0<(1)/(2a)<1，当x∈（(1)/(2a)，1）时，f′（x）>0，f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）<0，f（x）单调递减．
所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意．
综上可知，正实数a的取值范围为（(1)/(2)，+∞）．…（12分）