已知函数f（x）=ex+x2-x，g（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线l与曲线y=g（x）切于点（1，c），求a，b，c

Question

已知函数f（x）=e^x+x²-x，g（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线l与曲线y=g（x）切于点（1，c），求a，b，c的值；
（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）F（x）=e^x-2x-b，则F'（x）=e^x-2．
令F'（x）=e^x-2>0，得x>ln2，所以F（x）在（ln2，+∞）上单调递增．
令F'（x）=e^x-2<0，得x（Ⅱ）因为f'（x）=e^x+2x-1，所以f'（0）=0，所以l的方程为y=1．
依题意，-(a)/(2)=1，c=1．
于是l与抛物线g（x）=x²-2x+b切于点（1，1），
由1²-2+b=1得b=2．
所以a=-2，b=2，c=1．…（8分）
（Ⅲ）设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-（a+1）x-b，则h（x）≥0恒成立．
易得h'（x）=e^x-（a+1）．
（1）当a+1≤0时，
因为h'（x）>0，所以此时h（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
①若a+1=0，则当b≤0时满足条件，此时a+b≤-1；
②若a+1<0，取x₀<0且x0<(1-b)/(a+1)，
此时h(x0)=ex0-(a+1)x0-b<1-(a+1)(1-b)/(a+1)-b=0，所以h（x）≥0不恒成立．
不满足条件；
（2）当a+1>0时，
令h'（x）=0，得x=ln（a+1）．由h'（x）>0，得x>ln（a+1）；
由h'（x）<0，得x<ln（a+1）．
所以h（x）在（-∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．
要使得“h（x）=e^x-（a+1）x-b≥0恒成立”，必须有：
“当x=ln（a+1）时，h（x）_min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b≥0”成立．
所以b≤（a+1）-（a+1）ln（a+1）．则a+b≤2（a+1）-（a+1）ln（a+1）-1．
令G（x）=2x-xlnx-1，x>0，则G'（x）=1-lnx．
令G'（x）=0，得x=e．由G'（x）>0，得0<x<e；
由G'（x）<0，得x>e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
所以，当x=e时，G（x）_max=e-1．
从而，当a=e-1，b=0时，a+b的最大值为e-1．
综上，a+b的最大值为e-1．…（14分）