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已知函数f(x)=ex+x2-x,g(x)=x2+ax+b,a,b∈R.(Ⅰ)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c
题目详情
已知函数f(x)=ex+x2-x,g(x)=x2+ax+b,a,b∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c的值;
(Ⅲ)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.
(Ⅰ)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c的值;
(Ⅲ)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)F(x)=ex-2x-b,则F'(x)=ex-2.
令F'(x)=ex-2>0,得x>ln2,所以F(x)在(ln2,+∞)上单调递增.
令F'(x)=ex-2<0,得x(Ⅱ)因为f'(x)=ex+2x-1,所以f'(0)=0,所以l的方程为y=1.
依题意,-
=1,c=1.
于是l与抛物线g(x)=x2-2x+b切于点(1,1),
由12-2+b=1得b=2.
所以a=-2,b=2,c=1.…(8分)
(Ⅲ)设h(x)=f(x)-g(x)=ex-(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.
易得h'(x)=ex-(a+1).
(1)当a+1≤0时,
因为h'(x)>0,所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
①若a+1=0,则当b≤0时满足条件,此时a+b≤-1;
②若a+1<0,取x0<0且x0<
,
此时h(x0)=ex0-(a+1)x0-b<1-(a+1)
-b=0,所以h(x)≥0不恒成立.
不满足条件;
(2)当a+1>0时,
令h'(x)=0,得x=ln(a+1).由h'(x)>0,得x>ln(a+1);
由h'(x)<0,得x<ln(a+1).
所以h(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增.
要使得“h(x)=ex-(a+1)x-b≥0恒成立”,必须有:
“当x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0”成立.
所以b≤(a+1)-(a+1)ln(a+1).则a+b≤2(a+1)-(a+1)ln(a+1)-1.
令G(x)=2x-xlnx-1,x>0,则G'(x)=1-lnx.
令G'(x)=0,得x=e.由G'(x)>0,得0<x<e;
由G'(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以,当x=e时,G(x)max=e-1.
从而,当a=e-1,b=0时,a+b的最大值为e-1.
综上,a+b的最大值为e-1.…(14分)
令F'(x)=ex-2>0,得x>ln2,所以F(x)在(ln2,+∞)上单调递增.
令F'(x)=ex-2<0,得x
依题意,-
a |
2 |
于是l与抛物线g(x)=x2-2x+b切于点(1,1),
由12-2+b=1得b=2.
所以a=-2,b=2,c=1.…(8分)
(Ⅲ)设h(x)=f(x)-g(x)=ex-(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.
易得h'(x)=ex-(a+1).
(1)当a+1≤0时,
因为h'(x)>0,所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
①若a+1=0,则当b≤0时满足条件,此时a+b≤-1;
②若a+1<0,取x0<0且x0<
1-b |
a+1 |
此时h(x0)=ex0-(a+1)x0-b<1-(a+1)
1-b |
a+1 |
不满足条件;
(2)当a+1>0时,
令h'(x)=0,得x=ln(a+1).由h'(x)>0,得x>ln(a+1);
由h'(x)<0,得x<ln(a+1).
所以h(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增.
要使得“h(x)=ex-(a+1)x-b≥0恒成立”,必须有:
“当x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0”成立.
所以b≤(a+1)-(a+1)ln(a+1).则a+b≤2(a+1)-(a+1)ln(a+1)-1.
令G(x)=2x-xlnx-1,x>0,则G'(x)=1-lnx.
令G'(x)=0,得x=e.由G'(x)>0,得0<x<e;
由G'(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以,当x=e时,G(x)max=e-1.
从而,当a=e-1,b=0时,a+b的最大值为e-1.
综上,a+b的最大值为e-1.…(14分)
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