（2015•成都模拟）巳知函数f（x）=13ax2-bx-1nx，其中a，b∈R．（Ⅰ）当a=3，b=-1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为2x-3y-e=0（e=2.71828…为自然对数

Question

（2015•成都模拟）巳知函数f（x）=(1)/(3)ax²-bx-1nx，其中a，b∈R．
（Ⅰ）当a=3，b=-1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为2x-3y-e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值；
（Ⅲ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x₁＞x₂≥4，总有(h(x1)−h(x2))/(x1−x2)＞-1成立，试用a表示出b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=3，b=-1时，f（x）=x²+x-lnx，（x＞0）．
f′(x)＝2x+1−(1)/(x)=(2x2+x−1)/(x)=((x+1)(2x−1))/(x)，
令f′（x）＞0，解得x＞(1)/(2)；令f′（x）＜0，解得0＜x＜(1)/(2)．
∴函数f（x）在区间(0，(1)/(2))上单调递减，在区间((1)/(2)，+∞)上单调递增．
因此当x=(1)/(2)时，函数f（x）取得极小值即最小值，
最小值为f((1)/(2))=((1)/(2))2+(1)/(2)−ln(1)/(2)=(3)/(4)+ln2．
（Ⅱ）f′(x)＝(2)/(3)ax−b−(1)/(x)，∴f′（e）=(2)/(3)ae−b−(1)/(e)，
∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为2x-3y-e=0，
∴

(2)/(3)ae−b−(1)/(e)＝(2)/(3)

(1)/(3)ae2−be−1＝(1)/(3)(2e−e)

，解得

作业帮用户 2017-11-01

问题解析

（Ⅰ）当a=3，b=-1时，f′(x)＝2x+1−(1)/(x)=((x+1)(2x−1))/(x)，利用导数性质能求出当x=(1)/(2)时，函数f（x）取得极小值即最小值f((1)/(2))=(3)/(4)+ln2．
（Ⅱ）由f′(x)＝(2)/(3)ax−b−(1)/(x)，得f′（e）=(2)/(3)ae−b−(1)/(e)，由曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为2x-3y-e=0，能求出a＝(3+e)/(e2)，b=(1)/(e)．
（Ⅲ）由题意知函数h（x）=(1)/(3)ax3−bx2+x在x∈[4，+∞）上单调递增．2b≤(ax+(1)/(x))min，由此利用分类讨论思想能求出当0＜a＜(1)/(16)时，b≤√(a)．当a≥(1)/(16)，b≤2a+(1)/(8)．

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

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