已知函数f（x）=（x2-2x）lnx+ax2+2（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y-1=0垂直．（1）求实数a的值；（2）若g（x）=f（x）+2x2-x-2，且当x∈（1e2，e]（e为自然对数的底数）时，g（x）≤2m-

Question

已知函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y-1=0垂直．
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）=f（x）+2x²-x-2，且当x∈（(1)/(e2)，e]（e为自然对数的底数）时，g（x）≤2m-3e恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2的导数为
f′（x）=（2x-2）lnx+x-2+2ax，
可得在点（1，f（1））处的切线斜率为2a-1，
由切线与直线x-3y-1=0垂直，可得2a-1=-3，
解得a=-1；
（2）g（x）=f（x）+2x²-x-2=（x²-2x）lnx-x²+2+2x²-x-2
=（x²-2x）lnx+x²-x，
可得g′（x）=（2x-2）lnx+3x-3=（x-1）（2lnx+3），
当x∈（e^-2，e -(3)/(2)）时，g′（x）>0，g（x）递增；
x∈（1，e）时，g′（x）>0，g（x）递增；
当x∈（e -(3)/(2)，1）时，g′（x）<0，g（x）递减．
由g（e）=2e²-3e>g（e -(3)/(2)）=2e -(3)/(2)-(1)/(2)e^-3，可得
2e²-3e≤2m-3e，解得m≥e²．
即有m的范围是[e²，+∞）．