已知函数f（x）=mex-x-2．（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（0，1），求曲线f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）>0在R上恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ

Question

已知函数f（x）=me^x-x-2．（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（0，1），求曲线f（x）在点P（0，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）>0在R上恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）的两个零点为x₁，x₂，且x₁<x₂，求y=(ex2-ex1)((1)/(ex2+ex1)-m)的值域．

Answer 1

（Ⅰ）当x=0时，f（0）=m-2=1⇒m=3，
f′（x）=3e^x-1，f′（0）=3-1=2，
∴所求切线方程y=2x+1，即2x-y+1=0（3分）
（Ⅱ）由f（x）>0，得：me^x-x-2>0，即有m>(x+2)/(ex)，
令u(x)=(x+2)/(ex)，则u/(x)=(-x-1)/(ex)，（5分）
令u′（x）>0⇒x<-1，u′（x）<0⇒x>-1，
∴u（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减，
∴u（x）_max=u（-1）=e，
∴m>e（7分）
（ III）由题意，mex1-x1-2=0，mex2-x2-2=0（8分），
y=(ex2-ex1)/(ex2+ex1)-m(ex2-ex1)
=(ex2-ex1)/(ex2+ex1)-(x2-x1)
=(ex2-x1-1)/(ex2-x1+1)-(x2-x1)，
令x₂-x₁=t（t>0），g(t)=(et-1)/(et+1)-t(t>0)（10分）
又g/(t)=(-e2t-1)/((et+1)2)<0，
∴g（t）在（0，+∞）上单调递减（12分）
∴g（t）<g（0）=0（13分）
∴g（t）∈（-∞，0）
∴y=(ex2-ex1)((1)/(ex2+ex1)-m)的值域为（-∞，0）（14分）