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设函数f(x)=lnx+mx,m∈R.(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)-x3零点的个数.
题目详情
设函数f(x)=lnx+
,m∈R.
(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)-
零点的个数.
m |
x |
(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)-
x |
3 |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)当m=e时,f(x)=lnx+
,其定义域为(0,+∞).
f′(x)=
-
=
令f′(x)=0,x=e.f′(x)>0,则0<x<e;f′(x)<0,则x>e.
故当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+
=2.
(Ⅱ)g(x)=f′(x)-
=
-
-
=
,其定义域为(0,+∞).
令g(x)=0,得m=-
x3+x.
设h(x)=-
x3+x,其定义域为(0,+∞).则g(x)的零点个数为h(x)与y=m的交点个数.
h′(x)=-x2+1=-(x+1)(x-1)
故当x=1时,h(x)取得最大值h(1)=
.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/09fa513d269759eec6f56049b1fb43166c22df8f.jpg)
作出h(x)的图象,
由图象可得,
①当m>
时,g(x)无零点;
②当m=
或m≤0时,g(x)有且仅有1个零点;
③当0<m<
时,g(x)有两个零点.
e |
x |
f′(x)=
1 |
x |
e |
x2 |
x−e |
x2 |
令f′(x)=0,x=e.f′(x)>0,则0<x<e;f′(x)<0,则x>e.
故当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+
e |
e |
(Ⅱ)g(x)=f′(x)-
x |
3 |
1 |
x |
m |
x2 |
x |
3 |
3x−3m−x3 |
3x2 |
令g(x)=0,得m=-
1 |
3 |
设h(x)=-
1 |
3 |
h′(x)=-x2+1=-(x+1)(x-1)
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
h′(x) | + | 0 | - |
h(x) | 递增 | 极大值 | 递减 |
2 |
3 |
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/09fa513d269759eec6f56049b1fb43166c22df8f.jpg)
作出h(x)的图象,
由图象可得,
①当m>
2 |
3 |
②当m=
2 |
3 |
③当0<m<
2 |
3 |
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