设函数f（x）=lnx+mx，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-x3零点的个数．

Question

设函数f（x）=lnx+(m)/(x)，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-(x)/(3)零点的个数．

Answer 1

（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+(e)/(x)，其定义域为（0，+∞）．
f′（x）=(1)/(x)-(e)/(x2)=(x−e)/(x2)                                                      
令f′（x）=0，x=e．f′（x）＞0，则0＜x＜e；f′（x）＜0，则x＞e．
故当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+(e)/(e)=2．
（Ⅱ）g（x）=f′（x）-(x)/(3)=(1)/(x)-(m)/(x2)-(x)/(3)=(3x−3m−x3)/(3x2)，其定义域为（0，+∞）．
令g（x）=0，得m=-(1)/(3)x³+x．
设h（x）=-(1)/(3)x³+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数．
h′（x）=-x²+1=-（x+1）（x-1）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	递增	极大值	递减

故当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=(2)/(3)．
作出h（x）的图象，
由图象可得，
①当m＞(2)/(3)时，g（x）无零点；                                               
②当m=(2)/(3)或m≤0时，g（x）有且仅有1个零点；                              
③当0＜m＜(2)/(3)时，g（x）有两个零点．