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(2014•凉山州三模)设函数f(x)=tlnxx(t≠0的常数).(Ⅰ)若f(x)的单调递增区间是(0,e)(e是自然对数的底数),求t的取值范围;(Ⅱ)若函数g(x)=(f(x))2+4f(x)+4只有一
题目详情
(2014•凉山州三模)设函数f(x)=
(t≠0的常数).
(Ⅰ)若f(x)的单调递增区间是(0,e)(e是自然对数的底数),求t的取值范围;
(Ⅱ)若函数g(x)=(f(x))2+4f(x)+4只有一个零点,求t的取值范围;
(Ⅲ)若t>0,对任意x≥1,f(x)≤
恒成立,求t的取值范围.
tlnx |
x |
(Ⅰ)若f(x)的单调递增区间是(0,e)(e是自然对数的底数),求t的取值范围;
(Ⅱ)若函数g(x)=(f(x))2+4f(x)+4只有一个零点,求t的取值范围;
(Ⅲ)若t>0,对任意x≥1,f(x)≤
(x2−1)t2 |
x2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x)=
(t≠0),∴f′(x)=t•
,
又题意可知f′(x)>0的解集是(0,e),而x∈(0,e)时,lnx<1即1-lnx>0,所以t>0.
综上所述,t的取值范围是(0,+∞)…4分
(2)由g(x)=[f(x)]2+4f(x)+4,得g(x)=[f(x)+2]2,
要使函数)=[f(x)]2+4f(x)+4只有一个零点,只需f(x)=-2有且只有一个实根,
∵f′(x)=t•
,令f′(x)=0得x=e,
x∈(0,e)时,1-lnx>0,x∈(e,+∞)时,1-lnx<0,
当t>0时,f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
函数f(x)有最大值f(e)=
>0,但x(0,1)时,f(x)<0,x∈(1,+∞)时,f(x)>0,
此时f(x)=-2有且只有一个实根;
当t<0时,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
函数f(x)有最大值f(e)=
<0,但x(0,1)时,f(x)>0,x∈(1,+∞)时,f(x)<0,
此时要使f(x)=-2有且只有一个实根,只需
=-2即t=-2e;
综上所述,t的取值范围是(0,+∞)∪{-2e}…9分
(3)由t>0时,对任意的x≥1都有f(x)≤
恒成立转化为
•t-lnx≥0恒成立.
令h(x)=
•t-lnx,则h′(x)=
•t-
=
,
由h′(x)=0得tx2-x+t=0,而△=1-4t2,
当t≥
时,△≤0,h′(x)≥0,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h(1)=0符合题意;
当0<t<
时,tx2-x+t=0方程的两根x1=
<1,x2=
tlnx |
x |
1−lnx |
x2 |
又题意可知f′(x)>0的解集是(0,e),而x∈(0,e)时,lnx<1即1-lnx>0,所以t>0.
综上所述,t的取值范围是(0,+∞)…4分
(2)由g(x)=[f(x)]2+4f(x)+4,得g(x)=[f(x)+2]2,
要使函数)=[f(x)]2+4f(x)+4只有一个零点,只需f(x)=-2有且只有一个实根,
∵f′(x)=t•
1−lnx |
x2 |
x∈(0,e)时,1-lnx>0,x∈(e,+∞)时,1-lnx<0,
当t>0时,f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
函数f(x)有最大值f(e)=
t |
e |
此时f(x)=-2有且只有一个实根;
当t<0时,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
函数f(x)有最大值f(e)=
t |
e |
此时要使f(x)=-2有且只有一个实根,只需
t |
e |
综上所述,t的取值范围是(0,+∞)∪{-2e}…9分
(3)由t>0时,对任意的x≥1都有f(x)≤
(x2−1)t2 |
x2 |
x2−1 |
x |
令h(x)=
x2−1 |
x |
x2+1 |
x2 |
1 |
x |
t•x2−x+t |
x2 |
由h′(x)=0得tx2-x+t=0,而△=1-4t2,
当t≥
1 |
2 |
当0<t<
1 |
2 |
1−
| ||
2t |
1+ |
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