已知f(x)＝ax−bx−2lnx，且f(e)＝be−ae−2（e为自然对数的底数）．（1）求a与b的关系；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（3）证明：ln222+ln332+…+lnnn2＜2n2−n−14(n+1)(n∈N

Question

已知f(x)＝ax−(b)/(x)−2lnx，且f(e)＝be−(a)/(e)−2（e为自然对数的底数）．
（1）求a与b的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（3）证明：(ln2)/(22)+(ln3)/(32)+…+(lnn)/(n2)＜(2n2−n−1)/(4(n+1))(n∈N，n≥2)
（提示：需要时可利用恒等式：lnx≤x-1）

Answer 1

（1）由题意f(x)＝ax−(b)/(x)−2lnx，f(e)＝be−(a)/(e)−2，∴ae-(b)/(e)-2=be−(a)/(e)−2，
∴（a-b）（e+(1)/(e)）=0，∴a=b．
（2）由（1）知：f(x)＝ax−(b)/(x)−2lnx，（x＞0），∴f′（x）=a+(a)/(x2)-(2)/(x)=(ax2−2x+a)/(x2)，
令h（x）=ax²-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：h（x）≥0恒成立．
即ax²-2x+a≥0，a≥(2x)/(x2+1) 在（0，+∞）上恒成立．
又∵0＜(2x)/(x2+1)=(2)/(x+(1)/(x))≤1，x＞0，所以a≥1．
（3）证明：先证：lnx-x+1≤0  （x＞0），设K（x）=lnx-x+1，则K′（x）=(1)/(x)-1=(1−x)/(x)．
当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，+∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴x=1为k（x）的极大值点，∴k（x）≤k（1）=0．  即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．
由上知 lnx≤x-1，又x＞0，∴(lnx)/(x)≤1-(1)/(x)．
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得 (lnn2)/(n2)≤1-(1)/(n2)，∴(lnn)/(n2)≤(1)/(2)（1-(1)/(n2)），
∴(ln2)/(作业帮用户2017-09-29问题解析（1）直接利用f(e)＝be−(a)/(e)−2，可得 ae-(b)/(e)-2=be−(a)/(e)−2，化简可得a与b的关系．（2）求出f′（x）=(ax2−2x+a)/(x2)，令h（x）=ax2-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，h（x）≥0恒成立，即a≥(2x)/(x2+1)在（0，+∞）上恒成立，而由基本不等式可得(2x)/(x2+1)的最大值等于1，所以a≥1．（3）先证：lnx-x+1≤0 （x＞0），可得(lnx)/(x)≤1-(1)/(x)，令x=n2，(lnn)/(n2)≤(1)/(2)（1-(1)/(n2)），可得(ln2)/(22)+(ln3)/(32)+…+(lnn)/(n2)≤(1)/(2)（1−(1)/(22)+1−(1)/(32)+…+1−(1)/(n2)）＜(1)/(2)[n-1-（(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+… +(1)/(n(n+1))）]=(1)/(2)[n-1-（(1)/(2)−(1)/(n+1)）]，化简即得不等式的右边．名师点评本题考点：不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．考点点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，体现了转化的数学思想，其中，用放缩法证明不等式 是解题的难点．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)