（2014•通辽模拟）已知函数f（x）=x2，g（x）=2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值；（2）是否存在一次函数y=kx+b（k，b∈R），使得f

Question

（2014•通辽模拟）已知函数f（x）=x²，g（x）=2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．
（1）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值；
（2）是否存在一次函数y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b对一切x＞0恒成立？若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）F′（x）=x²-2elnx
∴F′（x）=2（x-(e)/(x)）=(2(x2−e))/(x)（x＞0），
令F′（x）=0，得x=√(e)（x=-√(e)舍），
∴当0＜x＜√(e)时，F′（x）＜0，F（x）在（0，√(e)）上单调递减；
当x＞√(e)时，F′（x）＞0，F（x）在（√(e)，+∞）上单调递增．
∴当x=√(e)时，F（x）有极小值，也是最小值，
即F（x）_min=F（

作业帮用户 2017-10-02

问题解析

（1）利用导数的正负性求函数的单调区间和最最值；
（2）由函数的图象分析，如果存在一次函数，应该是两曲线的一条公共切线，先提出假设，再给出证明．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：

本题考查了，导数在求函数单调区间，求函数最值，证明恒成立问题．运用于数形结合思想，函数与方程思想，化归思想．是一道导数应用于的综合题，属于中档题．

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