已知函数f（x）=2x-e2x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（m∈R），若对于任意的x1∈[-1，1]，总存在x0∈[-1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数m的取值范围为（）A.（-∞，1-e2]∪[e2-1

Question

已知函数f（x）=2x-e^2x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（m∈R），若对于任意的x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则实数m的取值范围为（　　）

A. （-∞，1-e²]∪[e²-1，+∞）

B. [1-e²，e²-1]

C. （-∞，e^-2-1]∪[1-e^-2，+∞）

D. [e^-2-1，1-e^-2]

Answer 1

∵f′（x）=2-2e^2x，
∴f′（x）≥0在区间[-1，0]上恒成立，f（x）为增函数；f′（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，f（x）为减函数．
∵f（-1）-f（1）=（-2-e^-2）-（2-e²）=e²-e^-2-4>0，
∴f（-1）>f（1），又f（0）=-1，则函数f（x）在区间[-1，1]上的值域为A=[2-e²，-1]．
当m>0时，函数g（x）在区间[-1，1]上的值域为B=[-m+1，m+1]，依题意，
有A⊆B，则

-m+1≤2-e2

m+1≥-1

，解得m≥e²-1；
当m=0时，函数g（x）在区间[-1，1]上的值域为B={1}，不符合题意；
当m<0时，函数g（x）在区间[-1，1]上的值域为B=[m+1，-m+1]，依题意，
有A⊆B，则

m+1≤2-e2

-m+1≥-1

，解得m≤1-e²．
综上，实数m的取值范围为（-∞，1-e²]∪[e²-1，+∞）．
故选：A．