已知函数f（x）=lnxx，x＞6e−x(x3+3x2+ax+b)，x≤6，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=b=-3时，函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）-e-x（x2+b-1）存在两个相距大

Question

已知函数f（x）=

(lnx)/(x)，x＞6

e−x(x3+3x2+ax+b)，x≤6

，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=b=-3时，函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）-e^-x（x²+b-1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在点（-6，m），（2，n）单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n-m）＜(5√(6))/(36)．

Answer 1

（Ⅰ）①当x＞6时f（x）=(lnx)/(x)，
令f’（x）=(1−lnx)/(x2)＜0，
∴f（x）在（6，+∞）上单调递减；
②当x≤6时，由已知有f（x）=（x³+3x²-3x-3）e^-x，
∴f’（x）=-x（x-3）（x+3）e^-x，
∴f（x）在（-∞，-3），（0，3）上单调递增，
在（-3，0），（3，6）上单调递减，
综上，f（x）的增区间是（-∞，-3），（0，3），
单调减区间为（-3，0），（3，6），（6，+∞）．
（Ⅱ）当x≤6，h（x）=e^-x（3x²+ax+1），
h’（x）=e^-x[-3x²-（a-6）x+a-1]，
令m（x）=3x²+（a-6）x+1-a，设其零点为x₁，x₂，
由

(a−6)2−4×3×(1−a)＞0

m(6)≥0

−(a−6)/(6)＜6

|x1−x2|＞2

解得−(73)/(5)≤a＜−2√(3)或a＞2√(3)；
（Ⅲ）g(x)＝

(ln(−x))/(−x)，x＜−6

ex(−x3+3x2−ax+b)，x≥−6

，
当x≥-6时，g’（x）=e^x[-x³+（6-a）x+（b-a）]，
由g’（2）=0得b=3a-4，
从而g’（x）=-e^x[x³+（a-6）x+（4-2a）]，
∵g’（m）=g’（n）=0，
∴x³+（a-6）x+（4-2a）=（x-2）（x-m）（x-n），
将右边展开，与左边比较系数，得m+n=-2，mn=a-2，
∵n＞2，∴m＜-4，
∴n-m＞6，
∵f（x）在[6，+∞）单调递减，
∴f（n-m）＜f（6）=(ln6)/(6)，
∵ln6＜2，∴6ln6＜12，
∴（6ln6）2＜144＜150，即6ln6＜5√(6)，
∴(ln6)/(6)＜(5√(6))/(36)，
∴f(n−m)＜(5√(6))/(36)得证．