已知函数f（x）=（ax2+bx+c）•ex，其中e为自然对数的底，a，b，c为常数，若函数f(x)在x＝−2处取得极值，且limx→0f(x)−cx＝−4．（I）求实数b、c的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上是增

Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）•e^x，其中e为自然对数的底，a，b，c为常数，若函数f(x)在x＝−2处取得极值，且

lim

x→0

(f(x)−c)/(x)＝−4．
（I）求实数b、c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）f'（x）=（2ax+b）e^x+（ax²+bx+c）e^x=[ax²+（b+2a）x+b+c]e^x
由f'（-2）=0
4a-2（b+2a）+b+c=0
b=c，
由

lim

x→0

(f(x)−c)/(x)＝4得到：f′(0)＝4，所以b+c＝4，
所以b=2，c=2；  
（II）由题意知道ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]时恒成立，
即a≥−(2x+4)/(x2+2x)在x∈[1，2]时恒成立，设g(x)＝−(2x+4)/(x2+2x)，x∈[1，2]，
则g(x)＝−(2)/(x)在区间[1，2]上单调递增，所以g(x)的最大值为g(2)＝−1，
所以a≥-1．