已知函数f（x）=x-aex（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证：x1+x2>2．

Question

已知函数f（x）=x-ae^x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，求证：x₁+x₂>2．

Answer 1

（1）f'（x）=1-a•e^x，…（1分）
当a≤0时，f'（x）>0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增函数；…（3分）
当a>0时，由f'（x）>0得x<-lna，由f'（x）<0得x>-lna，
所以函数f（x）是（-∞，-lna）上的单调递增函数，
函数f（x）是（-lna，+∞）上的单调递减函数…（5分）
（2）函数f（x）有两个零点x₁，x₂，所以x1=aex1，x2=aex2，
因此x1-x2=a(ex1-ex2)，即a=(x1-x2)/(ex1-ex2)，…（7分）
要证明x₁+x₂>2，只要证明a(ex1+ex2)>2，
即证：(x1-x2)(ex1+ex2)/(ex1-ex2)>2…（9分）
不妨设x₁>x₂，记t=x₁-x₂，
则t>0，e^t>1，因此只要证明：t•(et+1)/(et-1)>2，
即（t-2）e^t+t+2>0，…（10分）
记h（t）=（t-2）e^t+t+2（t>0），
则h'（t）=（t-1）e^t+1，
记m（t）=（t-1）e^t，则m'（t）=te^t，
当t>0时，m'（t）>0，所以m（t）>m（0）=-1，
即t>0时（t-1）e^t>-1，h'（t）>0，
所以h（t）>h（0）=0，即（t-2）e^t+t+2>0成立，
所以x₁+x₂>2…（12分）