设函数f（x）=exlnx（e为自然对数的底数）（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）令Q（x）=1-2exex，证明：当x>0时f（x）>Q（x）恒成立．

Question

设函数f（x）=e^xlnx（e为自然对数的底数）
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）令Q（x）=1-(2ex)/(ex)，证明：当x>0时f（x）>Q（x）恒成立．

Answer 1

（1）函数f（x）=e^xlnx的导数为
f′（x）=e^x（lnx+(1)/(x)），
可得f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=e（ln1+1）=e，
切点为（1，0），
即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=e（x-1），
化简为y=ex-e；
（2）证明：Q（x）=1-(2ex)/(ex)，
F（x）=f（x）-Q（x）=e^xlnx+(2ex)/(ex)-1（x>0），
F′（x）=e^x（lnx+(1)/(x)）+2e^x（(1)/(ex)-(1)/(ex2)）=e^x（lnx+(1)/(x)+(2)/(ex)-(2)/(ex2)）；
设h（x）=lnx+(1)/(x)+(2)/(ex)-(2)/(ex2)（x>0），
则h′（x）=(1)/(x)-(1)/(x2)-(2)/(ex2)+(1)/(ex3)，
令h′（x）=0，
得ex²-（e+1）x+1=0，
解得x=1或x=(1)/(e)，
当x∈（0，(1)/(e)）时，h′（x）>0，h（x）单调递增；
当x∈（(1)/(e)，1）时，h′（x）<0，h（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）>0，h（x）单调递增；
所以x=(1)/(e)时h（x）有极大值，x=1时h（x）取得极小值，也是最小值h（1）=1>0，
F′（x）>F′（1）=e>0，
所以F（x）>F（1）=0；
即f（x）-Q（x）>0，
所以当x>0时f（x）>Q（x）恒成立．