设函数f（x）=（x2+mx）e-x（m∈R）（e为自然对数的底）．（1）求证：f（x）在R上不是单调函数．（2）若f（x）=2在（0，2）内有解，求m的取值范围．

Question

设函数f（x）=（x²+mx）e^-x（m∈R）（e为自然对数的底）．
（1）求证：f（x）在R上不是单调函数．
（2）若f（x）=2在（0，2）内有解，求m的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=（2x+m）e^-x-（x²+mx）e^-x=[-x²+（2-m）x+m]e^-x，
假设f（x）在R上是单调函数，
∵e^-x＞0，
函数g（x）=-x²+（2-m）x+m开口向下，△=（2-m）²+4m=m²+4＞0，
∴g（x）恒小于零不成立，∴f′（x）＜0不恒成立，
因此假设错误，故f（x）在R上不是单调函数．
（2）∵f（x）=2，∴x²+mx=2e^x，m=(2ex)/(x)-x，
令h（x）=(2ex)/(x)-x，则h′（x）=(2ex(x−1)−x2)/(x2)，
∵x∈（0，2），∴h′（x）＜0，
∴函数h（x）在（0，2）上单调递减，
∴m＞h（2）=e²-2，
∴f（x）=2在（0，2）内有解，m的取值范围是（e²-2，+∞）．