已知函数f（x）=ex-3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a>ln3e，且x>0时，exx>32x+1x-3a．

Question

已知函数f（x）=e^x-3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a>ln(3)/(e)，且x>0时，(ex)/(x)>(3)/(2)x+(1)/(x)-3a．

Answer 1

（ I）解　由f（x）=e^x-3x+3a，x∈R知f′（x）=e^x-3，x∈R．…（1分）
令f′（x）=0，得x=ln 3，…（2分）
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表．

x	（-∞，ln 3）	ln 3	（ln 3，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	3（1-ln 3+a）	↑

故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln 3]，
单调递增区间是[ln3，+∞），…（5分）
f（x）在x=ln 3处取得极小值，极小值为f（ln 3）=e^ln3-3ln 3+3a=3（1-ln 3+a）．…（6分）
（II）证明：待证不等式等价于ex>(3)/(2)x2-3ax+1…（7分）
设g(x)=ex-(3)/(2)x2+3ax-1，x∈R，
于是g'（x）=e^x-3x+3a，x∈R．
由（ I）及a>ln(3)/(e)=ln3-1知：g'（x）的最小值为g′（ln 3）=3（1-ln 3+a）>0．…（9分）
于是对任意x∈R，都有g'（x）>0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a>ln(3)/(e)=ln3-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）>g（0）．  …（10分）
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）>0．
即ex>(3)/(2)x2-3ax+1，故(ex)/(x)>(3)/(2)x+(1)/(x)-3a                   …（12分）