1.在椭圆x＾2+4y＾2-4x=0上,求使z=x＾2-y＾2取得最大值和最小值的点的坐标.2.已知椭圆x＾2/4+y＾2/9=1,一组平行直线的斜率是3/2.求；（1）这组直线何时与椭圆相交.（2）当它们与椭圆相交时,证明

Question

1.在椭圆x＾2+4y＾2-4x=0上,求使z=x＾2-y＾2取得最大值和最小值的点的坐标.
2.已知椭圆x＾2/4+y＾2/9=1,一组平行直线的斜率是3/2.
求；（1）这组直线何时与椭圆相交.
（2）当它们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.

Answer 1

1.在椭圆x＾2+4y＾2-4x=0上,求使z=x＾2-y＾2取得最大值和最小值的点的坐标.
x^2-4x=-4y^2≤0,取值范围是0≤x≤4.
z=x^2-y^2=5x^2/4-x=5(x-2/5)^2/4-1/5,
当x=2/5时,z最小,当x=4时,z最大.
使z取得最大值的点的坐标:(4,0),
使z取得最小值的点的坐标:(2/5,±3/5).
2.已知椭圆x＾2/4+y＾2/9=1,一组平行直线的斜率是3/2.
求；（1）这组直线何时与椭圆相交.
（2）当它们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.
设y=3x/2+b,代入椭圆方程,9x^2+4(3x/2+b)^2=36
9x^2+6bx+(2b^2-18)=0.(1)
判别式36b^2-36(2b^2-18)≥0,b^2≤18,
-3√2≤b≤3√2时,这组直线与椭圆相交.
当它们与椭圆相交时,(1)就是两交点横坐标x1,x2满足的方程,x1+x2=-2b/3,
y1+y2=(3x1/2+b)+(3x2/2+b)=(3/2)(x1+x2)+2b=b.
两交点中点x=(x1+x2)/2=-b/3,y=(y1+y2)/2=b/2,
消去b,得3x+2y=0,
被椭圆截得的线段的中点都在直线3x+2y=0上.