集合｛1,2,...,mn｝,m,n均为正奇数,如何将其拆分为m个两两不交的n元子集,使每个子集元素之和相等如题请给出拆分方案

Question

集合｛1,2,...,mn｝,m,n均为正奇数,如何将其拆分为m个两两不交的n元子集,使每个子集元素之和相等
如题 请给出拆分方案

Answer 1

首先,构造m个集合如下
T1=（1,m+[m/2]+1）
T2=（2,2m）
T3=（3,m+[m/2]）
T4=（4,2m-1）
……
Tm-3=（m-3,m+[m/2]+3）
Tm-2=（m-2,m）
Tm-1=（m-1,m+[m/2]+2）
Tm=（m,m+1）
则这m个集合的和的取值为1+（m+[m/2]+1）~（m-1）+（m+[m/2]+2）的连续整数,
将2m+1~3m分配给这m个集合即m个两两不交的3元子集,每个子集元素之和相等.
由数学归纳法,假设n=k时可以拆分为Ti,i=1,2,…,m,
即m个两两不交的k元子集,每个子集元素之和相等,
当n=k+2时,
集合{1,2,…,mk}中的元素由归纳假设可拆分为Ti,i=1,2,…,m
集合{mk+1,mk+2,…,m（k+2）}首尾构成一组,即
U1={mk+1,m（k+2）}
U2={mk+2,m（k+2）-1}
…
Um={mk+m,mk+m+1}
显然Ui中元素之和相等
则Xi=Ti∪Ui及为所求
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