（2011•北京模拟）设X1，…，Xn（n＞2）为来自总体N（μ，σ2）的简单随机样本，其样本均值为.X．其样本方差为S2=1n−1ni＝1(Xi−.X)2，记T=.X2−1nS2（1）证明：T为μ2的无偏估计；（2）若μ=0，σ

Question

（2011•北京模拟）设X₁，…，X_n（n＞2）为来自总体N（μ，σ²）的简单随机样本，其样本均值为

.

X

．其样本方差为S²=(1)/(n−1)

n

i＝1

(Xi−

.

X

)2，记T=

.

X

2−(1)/(n)S2
（1）证明：T为μ²的无偏估计；
（2）若μ=0，σ=1，求DT．

Answer 1

（1）∵E

.

X

＝μ
D

.

X

＝(1)/(n2)

n

i＝1

DXi＝(1)/(n)σ2
∴E

.

X

2＝(1)/(n)σ2+μ2
又ES2＝(1)/(n−1)E

n

i＝1

[Xi−μ−(

.

X

−μ)]2
=(1)/(n−1)E[

n

i＝1

(Xi−μ)2−n(

.

X

−μ)2]
=(1)/(n−1)[nσ2−(n)/(n−1)(σ2)/(n)]＝σ2
∴ET＝E

.

X

2−(1)/(n)ES2＝μ2
∴T为μ²的无偏估计
（2）根据题意，有：
√(n)

.

X

～N（0，1），n

.

X

2～χ²（1），（n-1）S²～χ²（n-1），
于是：D(n

.<

作业帮用户 2017-10-26

问题解析

首先，将ET求出来，与μ²比较即可证明；其次，利用统计量的分布，得出n

.

X

2和（n-1）S²的分布，再根据分布的数字特征，求出DT即可．

名师点评

本题考点：

无偏估计．

考点点评：

此题考查了无偏估计的定义和证明、正态分布和卡方分布的性质与方差公式，综合性较强，需要熟练掌握相应知识点．

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