设X1,X2,X3,.Xn为来自正态总体N（u0,σ^2）的简单随机样本,其中u0已知,σ^2>0未知,X（代表平均数）和S^2分别代表样本均值和样本方差.（1）求参数σ^2的最大似然估计（2）计算E(σ^2)^(最大似然估计

Question

设X1,X2,X3,.Xn为来自正态总体N（u0,σ^2）的简单随机样本,其中u0已知,σ^2>0未知,X（代表平均数）和S^2分别代表样本均值和样本方差.
（1）求参数σ^2的最大似然估计
（2）计算E(σ^2)^(最大似然估计的均值)
答案给出σ^2的最大似然估计=1/n∑[i=1~n](Xi-u0)^2
E(σ^2)^=E(1/n∑[i=1~n](Xi-u0)^2)=1/n∑[i=1~n]E(Xi-u0)^2=1/n*nσ^2=σ^2
请问应为E（S^2）=σ^2
所以∑[i=1~n]E(Xi-u0)^2=(n-1)σ^2
为什σ^2的最大似然估计=1/n∑[i=1~n](Xi-u0)^2
你说的是通过将联合密度函数关于σ^2求导所得,与样本方差=1/(n-1)∑[i=1~n](Xi-u0)^2不同.
差别在于n与n-1
因此也没有E（S^2）=σ^2或∑[i=1~n]E(Xi-u0)^2=(n-1)σ^2 么这样考虑不对
但是E（S^2）=σ^2式定理呀,怎么没有呢

Answer 1

不好意思,我看错了,是有E（S^2）=σ^2,即样本方差是总体方差的无偏估计……
关键是样本方差与这里的最大似然方差不仅是n-1与n的区别,还在于均值,前者用的是样本均值1/n(Σxi),后者直接用的是总体均值u0……
因为样本方差的均值一定是用样本均值的,即使总体均值是已知的.
样本方差定义式应为：1/(n-1)∑[i=1~n](Xi-X0)^2 其中X0=1/n(Σxi) 自由度为n-1
同样也有最大似然方差=1/n∑[i=1~n](Xi-u0)^2也是总体方差的无偏估计,它的自由度是n
因此您将最大似然方差中的n改为n-1后,还要将u0改为x0才行……这样就能算出结果了……
我上次没有仔细看清楚这个u0与x0