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在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b
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在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b
▼优质解答
答案和解析
法一:在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC,
则由正弦定理及余弦定理有:
a•
=3
•c,
化简并整理得:2(a2-c2)=b2.
又由已知a2-c2=2b∴4b=b2.
解得b=4或b=0(舍);
法二:由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccosA.
又a2-c2=2b,b≠0.
所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC,
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC,
即sinB=4cosAsinC由正弦定理得sinB=
sinC,
故b=4ccosA②由①,②解得b=4.
则由正弦定理及余弦定理有:
a•
a2+b2-c2 |
2ab |
b2+c2-a2 |
2bc |
化简并整理得:2(a2-c2)=b2.
又由已知a2-c2=2b∴4b=b2.
解得b=4或b=0(舍);
法二:由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccosA.
又a2-c2=2b,b≠0.
所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC,
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC,
即sinB=4cosAsinC由正弦定理得sinB=
b |
c |
故b=4ccosA②由①,②解得b=4.
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