如何证明平分圆内一角（顶点在圆内的角）的直径平分该角所对的弧如题,能否不用正弦定理证明

Question

如何证明平分圆内一角（顶点在圆内的角）的直径平分该角所对的弧
如题,能否不用正弦定理证明

Answer 1

用反证法总可以了吧?
设直径AB,O是圆心,C是OA上一点,∠DCE的两边交圆於D和E,且CB平分∠DCE.
若弧BD≠弧BE,不妨假设弧BD>弧BE,则可在弧BD上取一点D',使弧BD'=弧BE.连接CD',OD',OE
∵弧BD'=弧BE,∴∠BOD'=∠BOE
∴∠COD'=∠COE
∵OC=OC,OD'=OE,∴△COD'≌△COE
∴∠D'CB=∠ECB
又CB平分∠DCE,∴∠ECB=∠DCB=∠D'CB
但CD'在CD的内部,即∠DCB>∠D'CB,矛盾
∴假设不成立,弧BD=弧BE