直角三角形正弦定理证明正弦定理有谁会不用三角函数就证明出来的?我们老师讲的可是我忘了,明天要学生讲的

Question

直角三角形正弦定理证明
正弦定理有谁会不用三角函数就证明出来的?我们老师讲的可是我忘了,明天要学生讲的

Answer 1

1、
正弦定理：a/sinA=b/sinB
=>
asinB=bsinA
又
acosA=bcosB
=>
sinB-cosA=sinA-cosB
=>
sinB+cosB=sinA+cosA
=>
A=B
=>
等腰三角形
2、
正弦定理：a/sinA=b/sinB
=>
[(sinA)^2+(sinB)^2]sin(A-B)=[(sinA)^2-(sinB)^2]sin(A+B)
=>
[(sinA)^2+(sinB)^2]/[(sinA)^2-(sinB)^2]=(sinAcosB+cosAsinB)/(sinAcosB-cosAsinB)
=>
[(sinA/sinB)^2+1]/[(sinA/sinB)^2-1]=[(tgA/tgB)^2+1]/[(tgA/tgB)^2-1]
=>
(sinA/sinB)^2=(tgA/tgB)^2
(sinA/sinB=-tgA/tgB时不可能,可仿以下推导,此处略）
=>
sinA/sinB=tgA/tgB
=>
sinA/sinB=(sinAcosB)/(cosAsinB)
=>
cosB/cosA=1
=>
A=B
=>
等腰三角形
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