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A1、A2为x2/a2+y2/b2=1)左右顶点椭圆丄异于A1A2的P,向量POPA=0求椭圆离心率e取值范围a>b>0,O为坐标原点
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A1、A2为x2/a2+y2/b2=1 )左右顶点椭圆丄异于A1A2 的P,向量POPA=0求椭圆离心率e取值范围
a>b>0,O为坐标原点
a>b>0,O为坐标原点
▼优质解答
答案和解析
A1(-a,0),A2(a,0),
设P(x,y),则PO=(-x,-y),PA2=(a-x,-y),
∵PO•PA2=0,
∴(a-x)(-x)+(-y)(-y)=0,y2=ax-x2>0,
∴0<x<a.
代入x2/a2+y2/b2=1,
(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0 在(0,a )上有解,
令f(x)=(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0,
∵f(0)=-a2b2<0,f(a)=0,
△=(a3)2-4×(b2-a2)×(-a2b2)=a2( a4-4a2b2+4b4 )=a2(a2-2c2)2≥0,
∴对称轴满足 0<-a3/2(b2-a2)<a,即 0<a3/2(a2-b2)<a,
∴a2/2c2<1,
c2/a2>12,
又 0<c/a<1,
∴√2/2<c/a<1,
设P(x,y),则PO=(-x,-y),PA2=(a-x,-y),
∵PO•PA2=0,
∴(a-x)(-x)+(-y)(-y)=0,y2=ax-x2>0,
∴0<x<a.
代入x2/a2+y2/b2=1,
(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0 在(0,a )上有解,
令f(x)=(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0,
∵f(0)=-a2b2<0,f(a)=0,
△=(a3)2-4×(b2-a2)×(-a2b2)=a2( a4-4a2b2+4b4 )=a2(a2-2c2)2≥0,
∴对称轴满足 0<-a3/2(b2-a2)<a,即 0<a3/2(a2-b2)<a,
∴a2/2c2<1,
c2/a2>12,
又 0<c/a<1,
∴√2/2<c/a<1,
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