如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-2ax+b经过A（-2，0），C（2，8）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．点E坐标为（0，-2），点P是线段BO上的一个动点，从点B开始以1个

Question

如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax+b经过A（-2，0），C（2，8）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．点E坐标为（0，-2），点P是线段BO上的一个动点，从点B开始以1个单位每秒的速度沿BO向终点O运动；

（1）求此抛物线的解析式；
（2）设运动时间为t秒，直线PE扫过四边形ABCD的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）能否将△OEB绕平面内某点旋转90°后使得△OEB的两个顶点落在抛物线上？若能，请直接写出旋转中心的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）y=ax²-2ax+b=a（x-1）²-a+b，
∵过点A（-2，0），C（2，8），
∴

a(−2−1)2−a+b＝0

a(2−1)2−a+b＝8

解得

a＝−1

b＝8

．
故此抛物线的解析式为y=-x²+2x+8；

（2）由抛物线的解析式为y=-x²+2x+8可得B（4，0），
∵P（4-t，0），E（0，-2），
设一次函数EP的解析式为y=kx+b，将P（4-t，0），E（0，-2）分别代入解析式得，

(4−t)k+b＝0

b＝−2

，
解得，

k＝(2)/(4−t)

b＝−2

，
一次函数解析式为y=(2)/(4−t)x-2．
设BC的解析式为y=ax+c，
将C（2，8），B（4，0）代入解析式得，

2a+b＝8

4a+b＝0

，
解得

a＝−4

b＝16

，
函数解析式为y=-4x+16．
将y=-4x+16和y=(2)/(4−t)x-2组成方程组得，

y＝−4x+16

y＝(2)/(4−t)x−2

，
解得

x＝(36−9t)/(9−2t)

y＝(4t)/(9−2t)

，
S=(1)/(2)×（4-t）×(4t)/(9−2t)=(2t(4−t))/(9−2t)．


（3）分为3种情况，①旋转后OE在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BE在抛物线上．
1、旋转后OE在抛物线上：
设为O′E′，则O′E′平行于x轴，抛物线y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，对称轴x=1，
则x₁=1-(1)/(2)|OE|=1-1=0，x₂=1+1=2．
则两点为（0，8）、（2，8）．
这时分别：①O′（0，8）、E′（2，8）；
②E′（0，8）、O′（2，8）．
然后分两种情况分别作OO'，EE'的中垂线，其交点即为其旋转中心．
∵OO′的解析式为y=4，易得，EE′的解析式为y=5x-2，则EE′的中点坐标为（1，3），
其中垂线解析式为y=-(1)/(5)x+b，将（1，3）代入解析式得，b=(16)/(5)，
则解析式为y=-(1)/(5)x+(16)/(5)，当y=4时，x=-4．
旋转中心坐标为（-4，4）．
2、旋转后OB在抛物线上：
OB∥y轴，则O′B′∥x轴，但抛物线y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，不成立．
3、旋转后BE在抛物线上：
BE边旋转90°后所得线段B'E'与BE垂直，直线斜率k_BE=(1)/(2)，则k_B'E'=-2．
设旋转后B'E'所在直线方程为：y=-2x+m．
抛物线：y=-x²+2x+8，联立，解方程，得：
（x，y）=（2+√(12−m)，m-4-2√(12−m)） 或 （x，y）=（2-√(12−m)，m-4+2√(12−m)）
此为两交点坐标，求距离使其等于|BE|=√(20)=2√(5)．有：
|BE|=√(20(12−m))=√(20)，从而有m=11，
两点坐标：（3，5），（1，9）．
然后分1）B′（3，5），E′（1，9）；2）E′（3，5），B′（1，9）两种情况，
分别作BB′与EE′的垂直平分线，两者交点即为其旋转中心．
综上，同1中解法，共有4种可能性，4个旋转中心，（-4，4）（5，3）（6，3）（-2，3）．