（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（-1，-1），（0，0），（2，2），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．

Question

（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（-1，-1），（0，0），（√(2)，√(2)），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=(n)/(x)（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s-1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且满足-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，令t=b²-2b+(157)/(48)，试求出t的取值范围．

Answer 1

（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，
∴m=2，
∵点P（2，2）在反比例函数y=(n)/(x)（n为常数，n≠0）的图象上，
∴n=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=(4)/(x)；

（2）假设函数y=3kx+s-1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），
则有x=3kx+s-1，
整理，得（3k-1）x=1-s，
当3k-1≠0，即k≠(1)/(3)时，解得x=(1−s)/(3k−1)；
当3k-1=0，1-s=0，即k=(1)/(3)，s=1时，x有无穷多解；
当3k-1=0，1-s≠0，即k=(1)/(3)，s≠1时，x无解；
综上所述，当k≠(1)/(3)时，“梦之点”的坐标为（(1−s)/(3k−1)，(1−s)/(3k−1)）；当k=(1)/(3)，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=(1)/(3)，s≠1时，不存在“梦之点”；

（3）∵二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
∴x₁=ax₁²+bx₁+1，x₂=ax₂²+bx₂+1，
∴ax₁²+（b-1）x₁+1=0，ax₂²+（b-1）x₂+1=0，
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b-1）x+1=0的两个不等实根，
∴x₁+x₂=(1−b)/(a)，x₁•x₂=(1)/(a)，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（(1−b)/(a)）²-4•(1)/(a)=(b2−2b+1−4a)/(a2)=4，
∴b²-2b=4a²+4a-1=（2a+1）²-2，
∴t=b²-2b+(157)/(48)=（2a+1）²-2+(157)/(48)=（2a+1）²+(61)/(48)．
∵-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，
∴-4＜x₂＜0或0＜x₂＜4，
∴-4＜x₂＜4，
∴-8＜x₁•x₂＜8，
∴-8＜(1)/(a)＜8，
∵a＞0，
∴a＞(1)/(8)
∴（2a+1）²+(61)/(48)＞

作业帮用户 2017-09-29

问题解析

（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=(n)/(x)，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）假设函数y=3kx+s-1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s-1，整理得（3k-1）x=1-s，再分三种情况进行讨论即可；
（3）先将A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）代入y=ax²+bx+1，得到ax₁²+（b-1）x₁+1=0，ax₂²+（b-1）x₂+1=0，根据方程的解的定义可知x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b-1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x₁+x₂=(1−b)/(a)，x₁•x₂=(1)/(a)，则（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=(b2−2b+1−4a)/(a2)=4，整理得出b²-2b=（2a+1）²-2，则t=b²-2b+(157)/(48)=（2a+1）²+(61)/(48)．再由-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，得出-4＜x₂＜4，-8＜x₁•x₂＜8，即-8＜(1)/(a)＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞(1)/(8)，进而求出t的取值范围．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，形如ax=b的方程的解的情况，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质等知识，综合性较强，有一定难度．

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