己知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=14x2+x+1分别与x，y轴相交于点A、B，点P在该抛物线的对称轴上，若△AOB与△PAB相似，则点P的坐标是．

Question

己知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=(1)/(4)x²+x+1分别与x，y轴相交于点A、B，点P在该抛物线的对称轴上，若△AOB与△PAB相似，则点P的坐标是______．

Answer 1

令y=0，
即(1)/(4)x²+x+1=0，解得x=-2．
令x=0，则y=1，故A（-2，0），B（0，1），
因为点P在抛物线的对称轴上，
所以设P点坐标为P（-2，y）
因为△AOB是直角三角形，
所以△AOB与△PAB相似，
则①当∠PAB=∠AOB=90°时，PB²=PA²+AB²，即4+（y+1）²=y²+5，解得y=0；（舍去）
②当∠PBA=∠AOB=90°时，PA²=PB²+AB²，即4+（y+1）²=√(5)²+5，解得y=5；
③当∠APB=∠AOB=90°时，AB²=PA²+PB²，即5=y²+4y+2y²=+1-5，2y²-2y=0，解得b=0（舍去），或b=1，
综上所述点P的坐标是（-2，5）或（-2，1）．