如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（8，0），点B在y轴的正半轴上，且cot∠OAB=，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求b、c的值；（2）过点B作CB⊥OB

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（8，0），点B在y轴的正半轴上，且cot∠OAB= ，抛物线y=﹣ x ² +bx+c经过A、B两点．

（1）求b、c的值；

（2）过点B作CB⊥OB，交这个抛物线于点C，以点C为圆心，CB为半径长的圆记作圆C，以点A为圆心，r为半径长的圆记作圆A．若圆C与圆A外切，求r的值；

（3）若点D在这个抛物线上，△AOB的面积是△OBD面积的8倍，求点D的坐标．

Answer 1

              （1）∵A（8，0），

∴OA=8，

∵ cot∠OAB= = ，

∴OB=6，

∵点B在y轴正半轴上，

∴点B的坐标为（0，6），

∴ ，

解得 ；

（2）由（1）得抛物线解析式为y=﹣ x ² + x+6，

∵CB⊥OB，点B（0，6），

∴点C的坐标为（5，6），

∴CB=5，

∴AC= =3 ，

∵圆C与圆A外切，

∴CB+r=AC，

∴r=3 ﹣5；

（3）∵OA=8，OB=6，

∴S _△AOB = OA•OB = ×8×6=24，

∵△AOB的面积是△OBD面积的8倍，

∴S _△OBD = ×24=3，

∵点D在这个抛物线上，

∴可设点D的坐标为（x，﹣ x ² + x+6），

∴S _△OBD = ×|x|×OB=3，

∴x=±1，

当x=1时，﹣ x ² + x+6=﹣ ×1 ² + ×1+6=7，

当x=﹣1时，﹣ x ² + x+6=﹣ ×（﹣1） ² + ×（﹣1）+6= ，

所以，点D的坐标为（1，7）或（﹣1， ）．