已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

Question

已知y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x+e^-x，y₃=xe^x+e^2x-e^-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

Answer 1

由题设，并根据二阶线性非齐次微分方程解的结构知：y₁-y₃=e^-x是齐次方程的解，
而y₂-e^-x=xe^x仍为非齐次方程的特解，
进而得：y₁-xe^x=e^2x为齐次方程的解，
即有e^2x与e^-2x是相应齐次方程的两个线性无关的解，且xe^x是非齐次方程的一个特解，
故所求方程的通解为：y=xe^x+C₁e^2x+C₂e^-x，
从而：
y′=ex+xex+2C1e2x−C2e−x，
y″=2ex+xex+4C1e2x+C2e−x，
消去C₁、C₂得所求方程为：
y″-y′-2y=e^x-2xe^x．