微分方程问题一曲边梯形的曲线方程为y=f(x)(f(x)≥0),底边位于区间[0,x]上,其面积与f(x)的（n+1）(n>0)次幂成正比,又f(0)=0,f(1)=1,求f(x).

Question

微分方程问题
一曲边梯形的曲线方程为 y=f(x) (f(x)≥0),底边位于区间 [0,x] 上,其面积与 f(x) 的（n+1）(n>0) 次幂成正比,又 f(0)=0,f(1)=1,求f(x).

Answer 1

由已知可得
∫(0→x)f(x)dx=kf(x)^(n+1)
两边对x求导可得
f(x)=k(n+1)f(x)^nf'(x)
即f(x)^(n-1)f'(x)=1/k(n+1)
两边对x积分可得
1/nf(x)^n=x/k(n+1)+c
由初始条件可得
c=0,k=n/(n+1)
得f(x)=x