设p，q是奇数，求证：方程x2+2px+2q=0没有有理根．

Question

设p，q是奇数，求证：方程x²+2px+2q=0没有有理根．

Answer 1

证明：设存在有理根则x=(-2p±√(4p2-8q))/(2)中至少有一个为有理数．
∴√(4p2-8q)为有理数
即存在有理数a使：4p²-8q=a²．
p，q是奇数，a整数
可设a=2b，∴p²-2q=b²，
∴p²-b²=2q
∴（p-b）（p+b）=2q
若b奇数，则p-b，p+b偶数，则2q=（p-b）（p+b）为4的倍数，q为偶数，矛盾
若b偶数，则p-b，p+b奇数，则2q=（p-b）（p+b）为奇数，矛盾，
∴假设不成立，
∴p，q是奇数，方程x²+2px+2q=0没有有理根．