对整系数多项式t(x),若满足：存在非零整数n,使t(n^2)=0,求方程t(x^2)-1=0的有理数解的个数（请写明过程）

Question

对整系数多项式t(x),若满足：存在非零整数n,使t(n^2)=0,求方程t(x^2)-1=0的有理数解的个数（请写明过程）

Answer 1

由题
t(x)=C*(x-n^2)^m*Q(x)
Q(x)=a0+a1*x+...+al*x^l
其中(a0,a1,a2...an)=1
t(x^2)=C*(x^2-n^2)^m*Q(x^2)
若t(x^2)-1=0有有理数解p/q
C*(x^2-n^2)^m*Q(x^2)=1
两边同乘q^(2m+2l)得
C*(p^2-n^2*q^2)^m*(a0*q^2l+a1*p^2*q^(2l-2)+...+al*p^2l)=q^2l
因为
q不整除(a0*q^2l+a1*p^2*q^(2l-2)+...+al*p^2l)
q不整除(p^2-n^2*q^2)^m
=>
C=q^2l
(p^2-n^2*q^2)^m=1
(a0*q^2l+a1*p^2*q^(2l-2)+...+al*p^2l)=1
重要的是
(p^2-n^2*q^2)^m=1 =>
p^2-n^2*q^2=1
p^2=(nq)^2+1
无整数解
故方程t(x^2)-1=0的有理数解的个数为0