（2010•舟山模拟）方程组x+y+z＝0xyz+z＝0xy+yz+xz+y＝0的有理数解（x，y，z）的个数为（）A．1B．2C．3D．4

Question

（2010•舟山模拟）方程组

x+y+z＝0

xyz+z＝0

xy+yz+xz+y＝0

的有理数解（x，y，z）的个数为（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

若z=0，则

x+y＝0

xy+y＝0

解得

x＝0

y＝0

或

x＝−1

y＝1

若z≠0，则由xyz+z=0得xy=-1．       ①
由x+y+z=0得z=-x-y．             ②
将②代入xy+yz+xz+y=0得x²+y²+xy-y=0．           ③
由①得x＝−(1)/(y)，代入③化简得（y-1）（y³-y-1）=0．
易知y³-y-1=0无有理数根，故y=1，由①得x=-1，由②得z=0，与z≠0矛盾，
故该方程组共有两组有理数解

x＝0

y＝0

z＝0

或

x＝−1

y＝1

z＝0