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(2010•舟山模拟)方程组x+y+z=0xyz+z=0xy+yz+xz+y=0的有理数解(x,y,z)的个数为()A.1B.2C.3D.4
题目详情
(2010•舟山模拟)方程组
的有理数解(x,y,z)的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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A.1
B.2
C.3
D.4
▼优质解答
答案和解析
若z=0,则
解得
或
若z≠0,则由xyz+z=0得xy=-1. ①
由x+y+z=0得z=-x-y. ②
将②代入xy+yz+xz+y=0得x2+y2+xy-y=0. ③
由①得x=−
,代入③化简得(y-1)(y3-y-1)=0.
易知y3-y-1=0无有理数根,故y=1,由①得x=-1,由②得z=0,与z≠0矛盾,
故该方程组共有两组有理数解
或
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若z≠0,则由xyz+z=0得xy=-1. ①
由x+y+z=0得z=-x-y. ②
将②代入xy+yz+xz+y=0得x2+y2+xy-y=0. ③
由①得x=−
1 |
y |
易知y3-y-1=0无有理数根,故y=1,由①得x=-1,由②得z=0,与z≠0矛盾,
故该方程组共有两组有理数解
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