已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Question

已知关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当k=0时，方程变形为x+2=0，解得x=-2；
当k≠0时，△=（2k+1）²-4•k•2=（2k-1）²，
∵（2k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴当k≠0时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）存在，
设方程两根为x₁、x₂，
则x₁+x₂=-(2k+1)/(k)，x₁x₂=(2)/(k)，
∵(1)/(x1)+(1)/(x2)=2，即(x1+x2)/(x1•x2)=2，
∴(-(2k+1)/(k))/((2)/(k))=2，即-(2k+1)/(2)=2，
解得：k=-(5)/(2)，
故存在实数k使方程两根的倒数和为2．