方程的根试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx^2+(r+2)x+3r-2=0有根且只有整数根.（要分类讨论,请先说明此方程有根）

Question

方程的根
试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx^2+(r+2)x+3r-2=0有根且只有整数根.
（要分类讨论,请先说明此方程有根）

Answer 1

也许可以这样做!
(1)r≠0时,
因为方程有整数根,
所以两根之和为整数,两根之积也为整数,
而x1+x2=-(r+2)/r=-1-2/r,x1*x2=(3r-2)/r=3-2/r,
所以-1-2/r,3-2/r都应该是整数,
所以r是2的因数,
而2的因数有±1,±2,
所以r=±1,±2,
当r=1或2时,方程没有实数根,所以不合题意,舍去;
而当r=-1时,方程变为-x^2+x-5=0,方程有实数根,但不是整数,不符合题意,舍去;
当r=-2时,方程变为-2x^2-8=0,
x=±2,符合题意;
(2)当r=0时,方程变为2x-2=0,
x=1是整数,符合题意;
综合以上得r=-2或r=0.