(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1则(a+c)(b+c)=a,b,c,d是互不相等的实数最好不用韦达定理

Question

(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1 则(a+c)(b+c)=_________
a,b,c,d是互不相等的实数
最好不用韦达定理

Answer 1

∵(a+c)(a+d)=1,即a^2+ad+ac+cd=1;①
(b+c)(b+d)=1,即b^2+bd+bc+cd=1;②
∴①-②=(a^2+ad+ac+cd)-(b^2+bd+bc+cd)=0
即 (a^2-b^2)+(ad-bd)+(ac-bc)+(cd-cd)=0
(a+b)(a-b)+(c+d)(a-b)=0
a+b+c+d=0
a+d=-(b+c)
∴(a+c)(b+c)=-(a+c)(a+d)=-1
(这里是因为已知的条件"(a+c)(a+d)=1")