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怎么证明AE经初等变换得到EA逆
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怎么证明AE经初等变换得到EA逆
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答案和解析
定理:任一可逆矩阵可以表示为初等矩阵的乘积
当A可逆时,设 A^-1 = P1P2...Ps,Pi为初等矩阵.
则
P1P2...Ps(A,E) = (P1P2...PsA,P1P2...PsE) = (A^-1A,A^-1E) = (E,A^-1)
而在(A,E)的左边乘以初等矩阵,相当于对(A,E)实施初等行变换
所以A可逆时,(A,E)可经初等行变换得到(E,A^-1)
当A可逆时,设 A^-1 = P1P2...Ps,Pi为初等矩阵.
则
P1P2...Ps(A,E) = (P1P2...PsA,P1P2...PsE) = (A^-1A,A^-1E) = (E,A^-1)
而在(A,E)的左边乘以初等矩阵,相当于对(A,E)实施初等行变换
所以A可逆时,(A,E)可经初等行变换得到(E,A^-1)
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