不定方程问题证明不定方程x^2+y^2=3(z^2+w^2)没有非零整数解.

Question

不定方程问题
证明不定方程x^2+y^2=3(z^2+w^2)没有非零整数解.

Answer 1

假设有非零解,且（x,y,z,w)=1 （因为如果有公约数的话则4个数都可以除以公约数仍满足方程）.
因为(x^2+y^2)/3=z^2+w^2为整数,故x^2+y^2能被3整除.
而因为3k,3k-1,3k+1的平方被3除余数只能为0,1,因此要使x^2+y^2能被3整除,x,y都得为3的倍数.设x=3x1,y=3y1,代入得：3(x1^2+y1^2)=z^2+w^2
同理,z,w都得为3的倍数.设w=3w1,z=3z1
这样x,y,z,w,就有公约数3了,与假设矛盾.
因此不存在非零解.结论成立.