特殊立方数列求和1^3+3^3+5^3+·······+（2n-1）^3

Question

特殊立方数列求和
1^3+3^3+5^3+·······+（2n-1）^3

Answer 1

设前n项和为S(n）
（1）.当n=1时显然成立
（2）.假设当n=k时上式成立
则当n=k+1时
S（k）+{2(k+1)-1}^3
S（k）+(2k+1)^3
=k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3(二项展开）
=2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1
=2k^4+8k^3+12k^2+8k+2-k^2-2k-1(关键一步）
=2(k^4+4k^3+6k^2+4k+1)-(k^2+2k+1)
二项展开反用
=2(k+1)^4-(k+1)^2
=(k+1)^2{2(k+1)^2-1}=S(k+1)
则综合（1）（2）
定理得证：
1^3+3^3+5^3+.+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)