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(2014•西城区二模)在无穷数列{an}中,a1=1,对于任意n∈N*,都有an∈N*,an<an+1.设m∈N*,记使得an≤m成立的n的最大值为bm.(Ⅰ)设数列{an}为1,3,5,7,…,写出b1,b2,b3的值;(Ⅱ)
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(2014•西城区二模)在无穷数列{an}中,a1=1,对于任意n∈N*,都有an∈N*,an<an+1.设m∈N*,记使得an≤m成立的n的最大值为bm.
(Ⅰ)设数列{an}为1,3,5,7,…,写出b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)若{an}为等比数列,且a2=2,求b1+b2+b3+…+b50的值;
(Ⅲ)若{bn}为等差数列,求出所有可能的数列{an}.
(Ⅰ)设数列{an}为1,3,5,7,…,写出b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)若{an}为等比数列,且a2=2,求b1+b2+b3+…+b50的值;
(Ⅲ)若{bn}为等差数列,求出所有可能的数列{an}.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)an≤1,则b1=1,an≤2,则b2=1,an≤3,则b3=3.…(3分)
(Ⅱ)因为{an}为等比数列,a1=1,a2=2,
所以an=2n-1,…(4分)
因为使得an≤m成立的n的最大值为bm,
所以b1=1,b2=b3=2,b4=b5=b6=b7=3,b8=b9=…=b15=4,b16=b17=…=b31=5,b32=b33=…=b50=6,…(6分)
所以b1+b2+b3+…+b50=243.…(8分)
(Ⅲ)由题意,得1=a1<a2<…<an<…,
得an≥n.…(9分)
又因为使得an≤m成立的n的最大值为bm,使得an≤m+1成立的n的最大值为bm+1,
所以b1=1,bm≤bm+1.…(10分)
设a2=k,则k≥2.
假设k>2,即a2=k>2,
则当n≥2时,an>2;当n≥3时,an≥k+1.
所以b2=1,bk=2.
因为{bn}为等差数列,
所以公差d=b2-b1=0,
所以bn=1,.
这与bk=2(k>2)矛盾,
所以a2=2.…(11分)
又因为a1<a2<…<an<…,
所以b2=2,
由{bn}为等差数列,得bn=n.…(12分)
因为使得使得an≤m成立的n的最大值为bm,
所以an≤n,
由an≥n,得an=n.…(13分)
(Ⅱ)因为{an}为等比数列,a1=1,a2=2,
所以an=2n-1,…(4分)
因为使得an≤m成立的n的最大值为bm,
所以b1=1,b2=b3=2,b4=b5=b6=b7=3,b8=b9=…=b15=4,b16=b17=…=b31=5,b32=b33=…=b50=6,…(6分)
所以b1+b2+b3+…+b50=243.…(8分)
(Ⅲ)由题意,得1=a1<a2<…<an<…,
得an≥n.…(9分)
又因为使得an≤m成立的n的最大值为bm,使得an≤m+1成立的n的最大值为bm+1,
所以b1=1,bm≤bm+1.…(10分)
设a2=k,则k≥2.
假设k>2,即a2=k>2,
则当n≥2时,an>2;当n≥3时,an≥k+1.
所以b2=1,bk=2.
因为{bn}为等差数列,
所以公差d=b2-b1=0,
所以bn=1,.
这与bk=2(k>2)矛盾,
所以a2=2.…(11分)
又因为a1<a2<…<an<…,
所以b2=2,
由{bn}为等差数列,得bn=n.…(12分)
因为使得使得an≤m成立的n的最大值为bm,
所以an≤n,
由an≥n,得an=n.…(13分)
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