设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．（1）若数列首项为a1=32，公差d=1，求满足Sk2=（Sk）2的正整数k的值；（2）若Sn=n2，求通项an；（3）求所有无穷等差数列{an

Question

设无穷等差数列{a _n }的前n项和为S _n ．
（1）若数列首项为 a 1 =(3)/(2) ，公差d=1，求满足S _k ² =（S _k ） ² 的正整数k的值；
（2）若S _n =n ² ，求通项a _n ；
（3）求所有无穷等差数列{a _n }，使得对于一切正整数k都有S _k ² =（S _k ） ² 成立．

Answer 1

（1）当 a 1 =(3)/(2) ，d=1 时， S n =n a 1 +(n(n-1))/(2) d=(3)/(2) n+(n(n-1))/(2) =(1)/(2) n 2 +n
∴ (1)/(2) k 4 + k 2 = ((1)/(2) k 2 +k)  2
整理得 k 3 ((1)/(4) k-1)=0
∴k=0或k=4
又∵k≠0，
∴k=4．
（2）当n=1时，s ¹ =a ₁ =1
当n≥2时，a _n =s _n -s _n-1 =2n-1
a ₁ 也符合上式
∴a _n =2n-1
（3）设数列{a _n }的公差为d，则在 S n 2 =( S n ) 2 中分别取k=1，2，由（1）得a ₁ =0或a ₁ =1．
当a ₁ =0时，代入（2）得d=0或d=6，
若a ₁ =0，d=0，则a _n =0，S _n =0，从而S _k =（S _k ） ² 成立
若a ₁ =0，d=6，则a _n =6（n-1），由S ₃ =18，（S ₃ ） ² =324，S _n =216知s ₉ ≠（S ₃ ） ² ，故所得数列不符合题意．
当a ₁ =1时，代入（2）得4+6d=（2+d） ² ，解得d=0或d=2
若a ₁ =1，d=0，则a _n =1，S _n =n，从而 S k 2 =( S k ) 2 成立；
若a ₁ =1，d=2，则a _n =2n-1，S _n =1+3+…+（2n-1）=n ² ，从而S=（S _n ） ² 成立
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
∴a _n =0，a _n =1，a _n =2n-1．