记无穷数列{an}的前n项a1，a2，…，an的最大项为An，第n项之后的各项an+1，an+2，…的最小项为Bn，令bn=An-Bn．（1）若数列{an}的通项公式为an=2n2-7n+6，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；（2）

Question

记无穷数列{a_n}的前n项a₁，a₂，…，a_n的最大项为A_n，第n项之后的各项a_n+1，a_n+2，…的最小项为B_n，令b_n=A_n-B_n．
（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=2n²-7n+6，写出b₁，b₂，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的通项公式为b_n=1-2n，判断{a_n+1-a_n}是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；
（3）若数列{b_n}为公差大于零的等差数列，求证：{a_n+1-a_n}是否为等差数列．

Answer 1

（1） 数列{a_n}的通项公式为a_n=2n²-7n+6，a₁=1，an=2(n-(7)/(4))2-(1)/(8)，
n≥2时为单调递增数列．
∴A₁=1，B₁=a₂=0，
b₁=A₁-B₁=1-0=1，
同理可得b₂=A₂-B₂=a₁-a₃=-2．
∴数列{b_n}的通项公式b_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=2n²-7n+6-[2（n+1）²-7（n+1）+6]=-4n+5；
（2） 设d是非负整数，先证明：b_n=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；
充分性：设d是非负整数，若{a_n}是公差为d的等差数列，则a_n=a₁+（n-1）d，
∴A_n=a_n=a₁+（n-1）d，B_n=a_n+1=a₁+nd，
∴d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．
必要性：若b_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．假设a_k是第一个使a_k-a_k-1<0的项，
则d_k=A_k-B_k=a_k-1-B_k≥a_k-1-a_k>0，这与d_n=-d≤0相矛盾，
故{a_n}是一个不减的数列．
∴d_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-d，即 a_n+1-a_n=d，
故{a_n}是公差为d的等差数列．
而数列{b_n}的通项公式为b_n=1-2n，
b_n+1-b_n=-2，
∴{a_n+1-a_n}是公差为2等差数列．
（3）证明：∵数列{a_n}递增，∴A_n=a_n，B_n=a_n+1，
∴b_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-（a_n+1-a_n），
∵{a_n+1-a_n}是等差数列，
∴{b_n}为等差数列．